انجمن ریاضی دانشگاه آزاد اسلامی همدان

×   مساحت متناهی و محیط نا متناهی

   پدیده ای که در مورد برخی از فراکتال ها بسیار عجیب است، نا متناهی یا نا معین بودن محیط آنهاست. به طور معمول وقتی محیط یک شکل هندسی را افزایش می دهیم، به مساحت آن نیز افزوده می شود. آیا این امر در مورد فراکتال ها هم صادق است؟ ویا اینکه محاسبه ی محیط و مساحت فراکتال ها از قانون خاصی تبعیت می کنند؟

در اینجا محاسبه ی محیط برف دانه ی کخ که یک فراکتال معروف است را بررسی می کنیم.

اگر ( در برف دانه ی کخ ) طول هر ضلع مثلث اولیه سه واحد باشد محیط این مثلث  9 واحد خواهد بود ، محیط شکل های بعدی چند واحد خواهد بود؟!

محیط = 9 واحد

محیط = ؟

محیط = ؟

- محیط هر شکل چند برابر محیط شکل قبلی خود است؟

- محیط مثلث اول 9 واحد است، چند دور تکرار لازم است تا محیط 100 واحد شود؟

- فرض کنید با تکرار دفعات زیاد این کار  محیط  بسیار بزرگ شود. آیا مساحت شکل نیز بسیار  بزرگ می شود؟

به واقع تمام شکل های حاصل از تکرار مراحل، درون دایره ای محاط هستند که مثلث اول در آن محاط بوده است. در بی نهایت بار تکرار محیط بی نهایت می شود و این در حالی است که مساحت، محدود به مساحت دایره ی محاط است. و این یعنی محیط نا متناهی پیرامون مساحتی متناهای!!!

حال این سوال پیش می آید که مساحت فراکتال ها را چطور محاسبه می کنند؟

در هر گام از تکرار ، محیط دانه برف کخ بزرگ و بزرگ تر می شود. در حالی که مساحت آن هیچ گاه از مساحت دایره ی محاط بیشتر نمی شود.

با توجه به شکل زیر  مراحل محاسبه ی مساحت دانه برف کخ را دنبال می کنیم.

شکل فوق تکرار دوم از فراکتال دانه برف کخ است. در تکرار اول مثلث های قرمز رنگ ( مثلث های اطراف مثلث اولیه ) به مثلث اصلی اضافه شده است. و در تکرار دوم مثلث های آبی ( مثلث های اطراف مثلث های مرحله ی دوم ) به آن افزوده شده اند. مثلث های اصلی شامل 81 مثلث کوچکتر است ، فرض می کنیم مساحت هر مثلث کوچکتر یک واحد باشد. تمام داده ها و نتایج مربوط به شکل فوق را در جدول زیر قرار می دهیم.

مساحت هر مثلثی که افزوده می شود  ۹/۱  مساحت مثلث قبلی است. تعداد مثلث های افزوده شده در هر تکرار چهار برابر مرحله ی قبل است. حال تکرار های بعدی را پیش بینی می کنیم.

آن چه اتفاق می افتد این است: مساحت هم چنان بزرگ و بزرگ تر شده و به نظر می رسد که به یک عدد همگرا می گردد ولی هیچ گاه بیشتر از آن نمی شود.