فراکتال هندسی

        

 

ساده ترین نوع فراکتال، فراکتال کانتور است. پاره خطی به طول یک واحد در نظر بگیرید و طول آن را به سه قسمت تقسیم کرده و قسمت وسطی را حذف کنید. حالا دو خط داریم که طول آن ها یک سوم طول اولیه است. همین عمل را با هر کدام از این پاره خط ها انجام می دهیم. یعنی طول هر کدام را ثلث می کنیم و قسمت وسطی را حذف می کنیم. می توان با کامپیوتر برنامه ای نوشت که این عملیات را چندین بار پیاپی انجام دهد. اگر این عملیات را بی شمار بار انجام دهیم ( کاری که از عهده کامپیوتر خارج است ) شکلی به دست می آید که مجموعه کانتور نام دارد. اگر به کل شکل نگاه کنیم، ساختاری می بینیم که تا بی نهایت ادامه دارد. اگر به سمت راست یا چپ خط دوم شکل نگاه کنیم، ساختاری میبینیم که باز هم تا بی نهایت ادامه یافته و در عین حال، کاملا شبیه  شکل کلی است. چنین ساختار هایی که هر جز آن با کل مجموعه یکی است و فقط در مقیاس (scale (تفاوت دارند را ساختار های خود متشابه[1] می گویند.

یکی از مشهورترین انواع فراکتال ها توسط  هلگ فون کخ  در سال 1904 طراحی شد. در این نوع فراکتال، ابتدا یک پاره خط به طول یک واحد در نظر می گیریم و آن را به سه قسمت تقسیم می کنیم. سپس به جای ضلع وسط دو ضلع مثلث متساوی الاضلاع را قرار می دهیم و این کار را همین طور ادامه می دهیم. فراکتال کخ نیز یک نوع فراکتال خود متشابه است. اگر این عمل را روی اضلاع یک مثلث متساوی الاضلاع انجام دهیم، شکل بسیار زیبایی پدید می آید که دانه برف کخ  نام دارد.

فراکتال سر پینسکی نیز یک فراکتال هندسی است. اگر مثلث وسطی یک مثلث متساوی الاضلاع را حذف کنیم و برای همه مثلث های باقی مانده هم این عمل را تا بی نهایت انجام دهیم، مجموعه زیبایی از مثلث های پر و خالی به وجود می آید که فراکتال   سر پینسکی به دست خواهد آمد.

 

   به طور کلی می توان گفت که اشکال فراکتالی دارای سه خاصیت عمومی هستند:

1)    تشابه به خود[2] :  که پیشتر راجع به آن صحبت کردیم.

2)    تشکیل از راه تکرار[3] :  به این وسیله می توان از یک شکل ساده ی هندسی شکل پیچیده تری ساخت و به همین ترتیب تا بی نهایت این کار را انجام داد.

3)    ابعاد کسری[4] :  فراکتال ها بر خلاف اشکال عمومی هندسی که می توانند بدون بعد (نقطه) یک بعدی (خط) دو بعدی (صفحه) و سه بعدی (شکل های حجیم) باشند ، می توانند دارای بعد کسری باشند. (مثلاً بعد  )

به طور مثال اگر یک پاره خط را نصف کنیم  دو خط داریم که درست مثل هم هستند. هم چنین اگر دو بعد یک مربع را نصف کنیم چهار مربع هم اندازه داریم و به همین ترتیب با نصف کردن هر سه بعد یک مکعب ، هشت مکعب کوچکتر خواهیم داشت. 

     در همه انواع فراکتال های خود متشابه برای تبدیل هر جز به کل یا اجزای کوچکتر، باید همه ابعاد به یک مقیاس بزرگ شوند. اما نوع دیگری از فراکتال ها وجود دارد که به آن ها خود الحاقی[5] می گویند. در این نوع فراکتال ها برای تبدیل شدن به مقیاس بزرگتر باید شکل در هر راستا به ضرایب مختلفی بزرگ نمایی شوند. DNA زنجیر طویلی از اسید های نوکلوئیک است که اطلاعات ژنتیکی را در خود ذخیره کرده است. اسید های نوکلوئیک دو دسته اند، پریدین و پریمیدین. اگر در طول یک زنجیره DNA برای هر پریدین یک واحد بالا برویم و برای هر پریمیدین یک واحد به پایین، نموداری به دست می آید که داده های زیادی به ما می دهد. به این نمودار ولگشت DNA [6] می گویند. ولگشت های DNA نمونه های خوبی برای فراکتال های خود الحاقی هستند. اکثر ساختار های فراکتالی در طبیعت مثل ریشه های گیاهان یا شاخه های درخت ها، ساختار های خوشه ها و کهکشان های کیهان، رشد یک سطح، سوختگی های روی کاغذ، شکستگی های DVD ها و ساختار های زمین شناسی به خصوص اشکال زیبایی که در غار ها مشاهده می شود، خواص فراکتالی خود الحاقی دارند. یکی از زیباترین نمونه های فراکتالی ، گل کلم است.

 

---

[1] self similar

[2] self similarity

[3] Iterative formation

[4] fractional dimension

[5] Self-Affine

[6] DNA Walk

 

ادامه دارد...

فراکتال ها

   فراکتال[1] ها مفاهیم ریاضی هندسی هستند که در چند سال اخیر و به خصوص پس از کار های بندیت مندلبورت، ریاضیدان لهستانی بر روی آنها بسیار مورد توجه دانشمندان سایر علوم قرار گرفته است. مفاهیمی که خواص آنها به اندازه شان بستگی ندارد، در فیزیک، شیمی، زیست شناسی، زمین شناسی و پزشکی بسیار دیده شده اند و از خواص آنها می توان برای درک بهتر پدیده های مورد نظر استفاده کرد.

   تاکنون تعریف دقیقی از ماهیت فراکتال ها نشده است اما از یک دیدگاه کلی می توان گفت که فراکتال موجودی هندسی است که قوانین کلی حاکم بر آن وابسته به مقیاسی که در آن کار می کنیم نیست. یعنی جزئیات آن شبیه کل هستند. فراکتال ها جزئیات نامحدودی دارند که دارای ساختاری خود متشابه در مقادیر مختلف بزرگنمایی، هستند. در اکثر موارد یک قانون و قاعده خاصی به میزان نامحدودی تکرار می شود تا یک طرح فراکتالی پدید آید. واژه فراکتال در سال 1975 توسط بندیت مندلبورت پدر فراکتال، ابداع شد. ریشه این لغت، عبارت لاتین fract به معنی شکسته است. پیش از این که مندلبورت این واژه را ابداع کند، برای چنین اشکالی، از واژه منحنی های هیولایی استفاده می شد.

   فراکتال ها را عموماً موجوداتی ریاضی می پندارند و این به علت مشهور بودن ساختار فراکتال هندسی است. اما نشان داده شده است که بسیاری از وضعیت هایی که هندسه کلاسیک ( اقلیدسی ) از توضیح آن ها عاجز است، توسط فراکتال ها، به راحتی بیان می شود. به همین دلیل فراکتال ها کاربرد های بسیاری در علوم پیدا کرده- اند، از فیزیک و شیمی و هواشناسی گرفته تا بیولوژی ملکولی و پزشکی، از قوانین حاکم بر فراکتال ها استفاده می شود.

---

[1] fractal

 

 

 

ادامه دارد...