نام عددهای خیلی بزرگ

 

برای خواندن عدد های خیلی بزرگ نامی را به کار می بریم که اروپائیان از ریشه واژه های

لاتینی ، یا زبانهای دیگر اروپایی برای آنها انتخاب کرده ا ند. بعضی از این عددها اینهاست:

 یک میلیون                                                                   1٫000٫000

 میلیون (  million) یعنی هزار هزار، در زبان لاتینی  mille به معنی هزار به کار رفته است.

در گذشته ما این عدد را دو کـُـرور می نامیدیم. کـُـرور واژه ای هندی است که در زبان فارسی

به معنی پانصد هزار به کــار می رفت. یک میلیون یک دستهٔ سه تایی صفر  بیشتر از هزار دارد.

 یک بیلیون                                                               1٫000٫000٫000

 بیلیون (  billion) یعنی هزار میلیون. در بعضی کشورها این عدد را میلیارد (  milliard) می

نامند. در زبان لاتین bi  به معنای دو است.  یک بیلیون دو دستهٔ سه تایی صفر  بیشتر از هزار

دارد.

 یک تریلیون                                                        1٫000٫000٫000٫000

 

تریلیون (  trillion) یعنی هزار بیلیون. در زبان لاتین tri  به معنای سه است.  یک تریلیون سه

دستهٔ سه تایی صفر  بیشتر از هزار دارد.

 یک کادریلیون                                                 1٫000٫000٫000٫000٫000

 

کادریلیون (  quadrillion) یعنی هزار تریلیون. quad به معنی چهار است. یک کادریلیون

چهار  دستهٔ سه تایی صفر  بیشتر از هزار دارد.

 یک کـَـنتیلیون                                          1٫000٫000٫000٫000٫000٫000

 کـَـنتیلیون (  quintillion)  یعنی هزار کادریلیون. quint به معنی پنج است. یک کنتیلیون

پنج  دستهٔ سه تایی صفر  بیشتر از هزار دارد.

  یک سیکستیلیون                                1٫000٫000٫000٫000٫000٫000٫000

 سیکستیلیون (sixtillion -  séxtillion) یعنی هزار کـَـنتیلیون.  séx به معنی شش است. یک

سیکستیلیون شش  دستهٔ سه تایی صفر  بیشتر از هزار دارد.

 یک سـِـپتیلیون                              1٫000٫000٫000٫000٫000٫000٫000٫000

 سپتیلیون (  septillion) یعنی هزار سیکستیلیون. sept به معنی هفت است. یک سپتیلیون

هفت  دستهٔ سه تایی صفر  بیشتر از هزار دارد.

 یک اُکتیلیون                          1٫000٫000٫000٫000٫000٫000٫000٫000٫000

 اُکتیلیون(  octillion) یعنی هزار سپتیلیون. oct  به معنی هشت است. یک اکتیلیون

هشت  دستهٔ سه تایی صفر  بیشتر از هزار دارد.

 یک نونیلیون                    1٫000٫000٫000٫000٫000٫000٫000٫000٫000٫000

 نونیلیون(  nonillion) یعنی هزار اکتیلیون.  non  به معنی نـه است. یک نونیلیون  نه  دستهٔ

سه تایی صفر  بیشتر از هزار دارد.

 یک دسیلیون              1٫000٫000٫000٫000٫000٫000٫000٫000٫000٫000٫000

 دسیلیون(  decillion) یعنی هزار نونیلیون. dec به معنی ده است.  یک دسیلیون  ده  دستهٔ

سه تایی صفر  بیشتر از هزار دارد.

  عددها بیشمارند به همین سبب ، نامگذاری همه آنها ممکن نیست. همانطور که می دانیم

ریاضیدانان برای رهائی از این مشکل و آسانتر کردن کار عددهای بزرگ را به روشی دیگر

نشان می دهند. برای مثال ،  عدد ۱۰۰۰  را به صورت ۱۰^۳ و عدد ۱٫۰۰۰٫۰۰۰ را به صورت

۱۰^۶ نشان می دهند.  یک بیلیون یا یک  میلیارد را به صورت ۱۰^۹ و یک کادریلیون به صورت

۱۰^۱۵ نشان داده می شود. دو هزار را به صورت ۱۰^۳  × ۲    و سی میلیون را به

صورت  ۱۰^۶ ×۳۰    یا  ۱۰^۷  ×  ۳  نشان می دهند.

ادامه از فراکتال ها

×   مساحت متناهی و محیط نا متناهی

   پدیده ای که در مورد برخی از فراکتال ها بسیار عجیب است، نا متناهی یا نا معین بودن محیط آنهاست. به طور معمول وقتی محیط یک شکل هندسی را افزایش می دهیم، به مساحت آن نیز افزوده می شود. آیا این امر در مورد فراکتال ها هم صادق است؟ ویا اینکه محاسبه ی محیط و مساحت فراکتال ها از قانون خاصی تبعیت می کنند؟

در اینجا محاسبه ی محیط برف دانه ی کخ که یک فراکتال معروف است را بررسی می کنیم.

 

 

اگر ( در برف دانه ی کخ ) طول هر ضلع مثلث اولیه سه واحد باشد محیط این مثلث  9 واحد خواهد بود ، محیط شکل های بعدی چند واحد خواهد بود؟!

 

محیط = 9 واحد

 

محیط = ؟

 

محیط = ؟

 

- محیط هر شکل چند برابر محیط شکل قبلی خود است؟

- محیط مثلث اول 9 واحد است، چند دور تکرار لازم است تا محیط 100 واحد شود؟

- فرض کنید با تکرار دفعات زیاد این کار  محیط  بسیار بزرگ شود. آیا مساحت شکل نیز بسیار  بزرگ می شود؟

به واقع تمام شکل های حاصل از تکرار مراحل، درون دایره ای محاط هستند که مثلث اول در آن محاط بوده است. در بی نهایت بار تکرار محیط بی نهایت می شود و این در حالی است که مساحت، محدود به مساحت دایره ی محاط است. و این یعنی محیط نا متناهی پیرامون مساحتی متناهای!!!

حال این سوال پیش می آید که مساحت فراکتال ها را چطور محاسبه می کنند؟

در هر گام از تکرار ، محیط دانه برف کخ بزرگ و بزرگ تر می شود. در حالی که مساحت آن هیچ گاه از مساحت دایره ی محاط بیشتر نمی شود.

با توجه به شکل زیر  مراحل محاسبه ی مساحت دانه برف کخ را دنبال می کنیم.

 

شکل فوق تکرار دوم از فراکتال دانه برف کخ است. در تکرار اول مثلث های قرمز رنگ ( مثلث های اطراف مثلث اولیه ) به مثلث اصلی اضافه شده است. و در تکرار دوم مثلث های آبی ( مثلث های اطراف مثلث های مرحله ی دوم ) به آن افزوده شده اند. مثلث های اصلی شامل 81 مثلث کوچکتر است ، فرض می کنیم مساحت هر مثلث کوچکتر یک واحد باشد. تمام داده ها و نتایج مربوط به شکل فوق را در جدول زیر قرار می دهیم.

 

 

شماره ی تکرار	مساحت یک مثلث	تعداد مثلث های افزدوده شده	مقدار مساحت افزوده شده	مساحت کل
				81
1	9	3	27	108
2	1	12	12	120

 

مساحت هر مثلثی که افزوده می شود  ۹/۱  مساحت مثلث قبلی است. تعداد مثلث های افزوده شده در هر تکرار چهار برابر مرحله ی قبل است. حال تکرار های بعدی را پیش بینی می کنیم.

 

 

شماره ی تکرار	مساحت یک مثلث	تعداد مثلث های افزدوده شده	مقدار مساحت افزوده شده	مساحت کل
				81
1	9	3	27	108
2	1	12	12	120
3	9/1	48	5.33	125.33
4	81/1	192	2.37	127.7
5	729/1	768	1.05	128.75
6	6561/1	3072	0.4682	129.21
7	1.59049	12288	0.2081	129.43
8	1.531441	49152	0.0924	129.522

 

 

آن چه اتفاق می افتد این است: مساحت هم چنان بزرگ و بزرگ تر شده و به نظر می رسد که به یک عدد همگرا می گردد ولی هیچ گاه بیشتر از آن نمی شود.

 

فراکتال هندسی

        

 

ساده ترین نوع فراکتال، فراکتال کانتور است. پاره خطی به طول یک واحد در نظر بگیرید و طول آن را به سه قسمت تقسیم کرده و قسمت وسطی را حذف کنید. حالا دو خط داریم که طول آن ها یک سوم طول اولیه است. همین عمل را با هر کدام از این پاره خط ها انجام می دهیم. یعنی طول هر کدام را ثلث می کنیم و قسمت وسطی را حذف می کنیم. می توان با کامپیوتر برنامه ای نوشت که این عملیات را چندین بار پیاپی انجام دهد. اگر این عملیات را بی شمار بار انجام دهیم ( کاری که از عهده کامپیوتر خارج است ) شکلی به دست می آید که مجموعه کانتور نام دارد. اگر به کل شکل نگاه کنیم، ساختاری می بینیم که تا بی نهایت ادامه دارد. اگر به سمت راست یا چپ خط دوم شکل نگاه کنیم، ساختاری میبینیم که باز هم تا بی نهایت ادامه یافته و در عین حال، کاملا شبیه  شکل کلی است. چنین ساختار هایی که هر جز آن با کل مجموعه یکی است و فقط در مقیاس (scale (تفاوت دارند را ساختار های خود متشابه[1] می گویند.

یکی از مشهورترین انواع فراکتال ها توسط  هلگ فون کخ  در سال 1904 طراحی شد. در این نوع فراکتال، ابتدا یک پاره خط به طول یک واحد در نظر می گیریم و آن را به سه قسمت تقسیم می کنیم. سپس به جای ضلع وسط دو ضلع مثلث متساوی الاضلاع را قرار می دهیم و این کار را همین طور ادامه می دهیم. فراکتال کخ نیز یک نوع فراکتال خود متشابه است. اگر این عمل را روی اضلاع یک مثلث متساوی الاضلاع انجام دهیم، شکل بسیار زیبایی پدید می آید که دانه برف کخ  نام دارد.

فراکتال سر پینسکی نیز یک فراکتال هندسی است. اگر مثلث وسطی یک مثلث متساوی الاضلاع را حذف کنیم و برای همه مثلث های باقی مانده هم این عمل را تا بی نهایت انجام دهیم، مجموعه زیبایی از مثلث های پر و خالی به وجود می آید که فراکتال   سر پینسکی به دست خواهد آمد.

 

   به طور کلی می توان گفت که اشکال فراکتالی دارای سه خاصیت عمومی هستند:

1)    تشابه به خود[2] :  که پیشتر راجع به آن صحبت کردیم.

2)    تشکیل از راه تکرار[3] :  به این وسیله می توان از یک شکل ساده ی هندسی شکل پیچیده تری ساخت و به همین ترتیب تا بی نهایت این کار را انجام داد.

3)    ابعاد کسری[4] :  فراکتال ها بر خلاف اشکال عمومی هندسی که می توانند بدون بعد (نقطه) یک بعدی (خط) دو بعدی (صفحه) و سه بعدی (شکل های حجیم) باشند ، می توانند دارای بعد کسری باشند. (مثلاً بعد  )

به طور مثال اگر یک پاره خط را نصف کنیم  دو خط داریم که درست مثل هم هستند. هم چنین اگر دو بعد یک مربع را نصف کنیم چهار مربع هم اندازه داریم و به همین ترتیب با نصف کردن هر سه بعد یک مکعب ، هشت مکعب کوچکتر خواهیم داشت. 

     در همه انواع فراکتال های خود متشابه برای تبدیل هر جز به کل یا اجزای کوچکتر، باید همه ابعاد به یک مقیاس بزرگ شوند. اما نوع دیگری از فراکتال ها وجود دارد که به آن ها خود الحاقی[5] می گویند. در این نوع فراکتال ها برای تبدیل شدن به مقیاس بزرگتر باید شکل در هر راستا به ضرایب مختلفی بزرگ نمایی شوند. DNA زنجیر طویلی از اسید های نوکلوئیک است که اطلاعات ژنتیکی را در خود ذخیره کرده است. اسید های نوکلوئیک دو دسته اند، پریدین و پریمیدین. اگر در طول یک زنجیره DNA برای هر پریدین یک واحد بالا برویم و برای هر پریمیدین یک واحد به پایین، نموداری به دست می آید که داده های زیادی به ما می دهد. به این نمودار ولگشت DNA [6] می گویند. ولگشت های DNA نمونه های خوبی برای فراکتال های خود الحاقی هستند. اکثر ساختار های فراکتالی در طبیعت مثل ریشه های گیاهان یا شاخه های درخت ها، ساختار های خوشه ها و کهکشان های کیهان، رشد یک سطح، سوختگی های روی کاغذ، شکستگی های DVD ها و ساختار های زمین شناسی به خصوص اشکال زیبایی که در غار ها مشاهده می شود، خواص فراکتالی خود الحاقی دارند. یکی از زیباترین نمونه های فراکتالی ، گل کلم است.

 

---

[1] self similar

[2] self similarity

[3] Iterative formation

[4] fractional dimension

[5] Self-Affine

[6] DNA Walk

 

ادامه دارد...

فراکتال ها

   فراکتال[1] ها مفاهیم ریاضی هندسی هستند که در چند سال اخیر و به خصوص پس از کار های بندیت مندلبورت، ریاضیدان لهستانی بر روی آنها بسیار مورد توجه دانشمندان سایر علوم قرار گرفته است. مفاهیمی که خواص آنها به اندازه شان بستگی ندارد، در فیزیک، شیمی، زیست شناسی، زمین شناسی و پزشکی بسیار دیده شده اند و از خواص آنها می توان برای درک بهتر پدیده های مورد نظر استفاده کرد.

   تاکنون تعریف دقیقی از ماهیت فراکتال ها نشده است اما از یک دیدگاه کلی می توان گفت که فراکتال موجودی هندسی است که قوانین کلی حاکم بر آن وابسته به مقیاسی که در آن کار می کنیم نیست. یعنی جزئیات آن شبیه کل هستند. فراکتال ها جزئیات نامحدودی دارند که دارای ساختاری خود متشابه در مقادیر مختلف بزرگنمایی، هستند. در اکثر موارد یک قانون و قاعده خاصی به میزان نامحدودی تکرار می شود تا یک طرح فراکتالی پدید آید. واژه فراکتال در سال 1975 توسط بندیت مندلبورت پدر فراکتال، ابداع شد. ریشه این لغت، عبارت لاتین fract به معنی شکسته است. پیش از این که مندلبورت این واژه را ابداع کند، برای چنین اشکالی، از واژه منحنی های هیولایی استفاده می شد.

   فراکتال ها را عموماً موجوداتی ریاضی می پندارند و این به علت مشهور بودن ساختار فراکتال هندسی است. اما نشان داده شده است که بسیاری از وضعیت هایی که هندسه کلاسیک ( اقلیدسی ) از توضیح آن ها عاجز است، توسط فراکتال ها، به راحتی بیان می شود. به همین دلیل فراکتال ها کاربرد های بسیاری در علوم پیدا کرده- اند، از فیزیک و شیمی و هواشناسی گرفته تا بیولوژی ملکولی و پزشکی، از قوانین حاکم بر فراکتال ها استفاده می شود.

---

[1] fractal

 

 

 

ادامه دارد...

نسبت طلایی

دنیای اعداد بسیار زیباست و شما می توانید در آن شگفتیهای بسیاری را بیابید. در میان اعداد برخی از آنها اهمیت فوق العاده ای دارند، یکی از این اعداد که سابقه آشنایی بشر با آن به هزاران سال پیش از میلاد میرسد عددی است بنام "نسبت طلایی" یا Golden Ratio.

پاره خطی را در نظر بگیرید و فرض کنید که آنرا بگونه ای تقسیم کنید که نسبت بزرگ به کوچک معادل نسبت کل پاره خط به قسمت بزرگ باشد. به شکل توجه کنید. اگر این معادله ساده یعنی a²=a*b+b² را حل کنیم (کافی است بجای b عدد یک قرار دهیم بعد a را بدست آوریم) به نسبتی معادل تقریبا" 1.61803399 یا 1.618 خواهیم رسید.

شاید باور نکنید اما بسیاری از طراحان و معماران بزرگ برای طراحی محصولات خود امروز از این نسبت طلایی استفاده می کنند. چرا که بنظر میرسد ذهن انسان با این نسبت انس دارد و راحت تر آنرا می پذیرد. این نسبت نه تنها توسط معماران و مهندسان برای طراحی استفاده می شود بلکه در طبیعت نیز کاربردهای بسیاری دارد که به تدریج راجع به آن صحبت خواهیم کرد.

 

اهرام مصر یکی از قدیمی ترین ساخته های بشری است که در آن هندسه و ریاضیات بکار رفته شده است. مجموعه اهرام Giza در مصر که قدمت آنها به بیش از 2500 سال پیش از میلاد می رسد یکی از شاهکارهای بشری است که در آن نسبت طلایی بکار رفته است. به این شکل نگاه کنید که در آن بزرگترین هرم از مجموعه اهرام Giza خیلی ساده کشیده شده است.

مثلث قائم الزاویه ای که با نسبت های این هرم شکل گرفته شده باشد به مثلث قائم مصری یا Egyptian Triangle معروف هست و جالب اینجاست که بدانید نسبت وتر به ضلع هم کف هرم معادل با نسبت طلایی یعنی دقیقا" 1.61804 می باشد. این نسبت با عدد طلایی تنها در رقم پنجم اعشار اختلاف دارد یعنی چیزی حدود یک صد هزارم. باز توجه شما را به این نکته جلب می کنیم که اگر معادله فیثاغورث را برای این مثلث قائم الزاویه بنویسم به معادله ای مانند phi²=phi+b² خواهیم رسید که حاصل جواب آن همان عدد معروف طلایی خواهد بود. (معمولا" عدد طلایی را با phi نمایش می دهند)

طول وتر برای هرم واقعی حدود 356 متر و طول ضلع مربع قاعده حدودا" معادل 440 متر می باشد بنابر این نسبت 356 بر 220 (معادل نیم ضلع مربع) برابر با عدد 1.618 خواهد شد.

کپلر (Johannes Kepler 1571-1630) منجم معروف نیز علاقه بسیاری به نسبت طلایی داشت بگونه ای که در یکی از کتابهای خود اینگونه نوشت : "هندسه دارای دو گنج بسیار با اهمیت می باشد که یکی از آنها قضیه فيثاغورث و دومی رابطه تقسیم یک پاره خط با نسبت طلايي می باشد. اولین گنج را می توان به طلا و دومی را به جواهر تشبیه کرد".

تحقیقاتی که کپلر راجع به مثلثی که اضلاع آن به نسبت اضلاع مثلث مصری باشد به حدی بود که امروزه این مثلث به مثلث کپلر نیز معروف می باشد. کپلر پی به روابط بسیار زیبایی میان اجرام آسمانی و این نسبت طلایی پیدا کرد.

 

رمز نگاری

رمزنگاری

دانش تغییر دادن متن پیام به کمک یک کلید رمزنگاری و یک الگوریتم رمزنگاری است. به صورتی که تنها شخصی که از کلید و الگوریتم مطلع است قادر به استخراج متن اصلی از متن رمزشده باشد و شخصی که از یکی یا هردوی آن‌ها اطلاعی ندارد، نتواند به محتوای پیام دسترسی پیدا کند. رمزنگاری از طریق پنهان نگاه داشتن الگوریتم رمزنگاری منسوخ است. در روشهای جدید رمزنگاری فرض بر آن است که همگان الگوریتم رمزنگاری را می‌دانند. آنچه پنهان است فقط کلید است.

رمزنگاری علمی است که به وسیله آن می‌توان اطلاعات را بصورتی امن منتقل کرد حتی اگر مسیر انتقال اطلاعات (کانالهای ارتباطی) ناامن باشد. دریافت‌کننده اطلاعات آنها را از حالت رمز خارج می‌کند (decrypting). به این عمل در واقع رمزگشائی گفته می‌شود .

توجه داشته باشید که رمزنگاری به تغییر ساده محتویات یک متن گفته می‌شود با کدگذاری (coding) تفاوت دارد. در این صورت تنها هر کاراکتر با یک نماد تغییر می‌کند.

کلمه Cryptography بر گرفته لغات یونانی‘kryptos’ به مفهوم " محرمانه " و grapheinبه معنای نوشتن " است. قبل از هر چیز لازم است بین رمز و کد تفاوت قائل شویم. رمز به مفهوم تبدیل کاراکتر به کاراکتر یا بیت به بیت ؛ بدون تغییر محتویات زبان شناختی آن است. در مقابل " کد " تبدیلی است که کلمه‌ای را با یک کلمه یا نماد دیگر جایگزین می‌کند .

در بررسی نخستین استفاده کنندگان از رمزنگاری به " سزار " امپراتور روم و نیز " الکندی " که یک مسلمان است برمیخوریم از عمده ترین شیوه‌های رمزنگاریهای ابتدایی پیچیدن نسخه اصلی پیام بر روی استوانه‌ای با قطر مشخص و نوشتن پیام بر روی متن استوانه‌ای است. بدیهی است بدون درک میزان قطر، خواندن پیام کار بسیار دشواری بود بعدها از این روش به همراه موتورهای الکتریکی برای رمزنگاری استفاده شد. در ادامه تصاویری از این رمزنگاری را مشاهده میکنید .

رمزنگاری امروزه به طور خاص در علم مخابرات مورد استفاده قرار می‌گیرد. از رمزنگاری می‌توان برای تأمین امنیت و تأمین اعتبار پیام به صورت جداگانه یا توامان استفاده کرد. منظور از تأمین امنیت پیام این است که به غیر از گیرنده مجاز، شخص دیگر قادر به فهمیدن متن پیام نباشد. همچنین منظور از اعتبار پیام این است که فرستنده واقعی پیام مشخص باشد. دانش رمزنگاری بر پایه مقدمات بسیاری از قبیل تئوری اطلاعات، نظریه اعداد و آمار بنا شده‌است.

 

شاهکارهای ریاضی از موم

((( شاهکارهای ریاضی از موم )))

 

 (مثالی از کاربردمنشورها در طبیعت )

 

اگر وجود حشره ای می تواند ، با  حل سریع یک مسئله ی هندسی ، ما را دچار شگفتی کند ، می توان به آ نچه که ساکنین کندوهای عسل ایجاد می کنند ، شاهکارهای ریاضی نامید .

ساختمان شانه های کندو از یک رشته شبکه های مومی شش وجهی تشکیل شده اند که در دو قشر چیده شده اند و با کفهای مشترکی بهم مربوطند .عمق این شبکه 3/11 میلی متر ، عرض هر یک از شش دیواره ی شبکه مساوی 71/2 میلی متر و ضخامت آن مساوی ضخامت یک کاغذ نوشتنی معمولی است .

 

بررسی این مطلب جالب است که چرا زنبور عسل برای مقطع منشور مومی خود ؛ شکل شش گوش را انتخاب کرده است ؟

این نتیجه  ی تلاش مصرف کردن  حداقل سطح در داخل یک گوشه ی تنگ است . قبل از همه باید چند ضلعی را به این شکل انتخاب کرد تا با تکرار آن بتوان سطح کندو را بدون هیچ فاصله و شکافی پوشانید.

چه شکلهای منتظمی برای این منظورمناسبند ؟ ( البته این موضوع توسط فیثاغورث کشف شد )

این چند ضلعیها عبارتند از : مثلث  ، مربع و شش ضلعی   . به همین مناسبت زنبورهای هوشمند درباره ی چند ضلعیهای دیگر حتی فکر هم نکرده اند ؛زیرا در این صورت برای پر کردن سطح کندو می بایست از دو یا چند نوع مختلف شبکه استفاده کنند که مستلزم کار پیچیده تر و بیشتری بود . به این ترتیب آنها می توانستند از یکی از این سه نوع شکل استفاده کنند.

 و آنها از این سه حالت ممکن ، شش ضلعی را انتخاب کردند . چرا ؟

برای اینکه در بین این سه شکل ، وقتی که مساحتهای مساوی داشته باشند ،شش ضلعی کمترین محیط  را دارد . یعنی وقتی که خانه ها را با قاعده ی شش ضلعی می سازند ، با حداقل مصرف موم ، حداکثر حجم رابدست می آورند .