انجمن ریاضی دانشگاه آزاد اسلامی همدان

در نظریه ی سری های فوریه نشان داده شده است که اگر در شرایطی مثل (شرط دیریشله) صدق کند،میتوان آن را به صورت سری هماهنگی به شکل

بسط داد و اینکه در نقاط ناپیوستگی سری سمت راست رابطه ی فوق برابر مقدار متوسط است. ضرایب an و bn را می توان با استفاده از روابط متعامد

۰

۰

۰

که در آن ها نماد کرونکر است که به ازای m=n برابر واحد و در غیر اینصورت صفر است.

همچنین

که

حساب کرد.

میتوان نشان داد که این سری به طور یکنواخت در بازه ی (L/۲ , -L/۲) همگراست، به طوریکه انتگرال گیری جمله به جمله در استنتاج این معادلات کار بجایی است.

این معادلات را با تبدیلات زیر ادامه می دهیم:

در نتیجه:

بنابراین

حال با تغییر بازه ی انتگرال گیر فوق به داریم:

این سری را می توان به صورت زیر هم نوشت:

به عنوان آزمون

بنابراین

ضریب An را میتوان به صورت زیر توسعه داد:

در نهایت در بازه سری فوریه به صورت

و

تعریف می شود.